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Teorema De Lagrange

Teorema De Lagrange

  • #definition relación de equivalencia especial:
    • Si $H < G$, entonces defina $\sim$ en $G$ como: $a \sim b \iff a^{-1} b \in H$.

Las clases de equivalencia de $\sim$ son de la forma

$$ \begin{align*} [a] &= \{b \in G \mid a \sim b\} \\ &= \{b \in G \mid a^{-1} b \in H\} \\ &= \{b \in G \mid a^{-1} b = h, h \in G\} \\ &= \{b \in G \mid b = a h, h \in G\} \\ &= \{a h \mid h \in G\} \\ \end{align*} $$

Entonces, defina $[a] = a H$.

  • #definition coset (clase lateral):
    • Sea $H < G$. La clase lateral por la izquierda de $H$ generado por $a \in G$ es,
$$ a H = \{a h | h \in H\}. $$
  • #example Encuentre todas las clases laterales de $5 \mathbb{Z} < \mathbb{Z}$.
    • $5 \mathbb{Z}$.
    • $1 + 5 \mathbb{Z}$.
    • $2 + 5 \mathbb{Z}$.
    • $3 + 5 \mathbb{Z}$.
    • $4 + 5 \mathbb{Z}$.

Note que también se puede definir $a \sim b \iff a b^{-1} \in H$. Entonces, $H a = \{h a \mid h \in H\}$. En general, $a H \ne H a$.

  • #example calcule las clases laterales de $\langle 3 \rangle < \mathbb{Z}_9$.
    • $\langle 3 \rangle = {0, 3, 6}$
      • $1 + \langle 3 \rangle = \{1, 4, 7\}$
      • $2 + \langle 3 \rangle = \{2, 5, 8\}$
  • #proposition $H < G \implies |a H| = |H|$.
    • Demo: Suponga que $H < G$. Defina $f : H \to aH$ como $f(h) = a h$. Suponga que $f(h_1) = f(h_2)$. Entonces, $$ \begin{align*} &f(h_1) = f(h_2) \\ \implies &a h_1 = a h_2 \\ \implies &a^{-1} a h_1 = a^{-1}a h_2 \\ \implies &a^{-1} a h_1 = a^{-1}a h_2 \\ \implies &h_1 = h_2. \\ \end{align*}$$

Entonces, $f$ es inyectiva. Ahora queremos probar que $f$ es sobreyectiva. Suponga que $x \in a H$. Entonces, $\exists h \in H$ tal que $x = h$ y $f(x) = ah.$ Por lo tanto, $f$ es sobreyectiva.

  • #proposition Suponga que $G$ es un grupo finito y $H < G$. Entonces, $|H| \mid |G|$.
    • Demo: Suponga que $G$ es un grupo finito y que $H < G$. Entonces, $$G = \bigcup_{a \in G} a H.$$ Sean $a_1 H, a_2 H, \dots, a_r H$ todas las clases laterales por la izquierda que son distintas. Note que, $|a H| = |H|$ y todas las $a_n H$ son disjuntos. Entonces, $$\begin{align*} |G| &= \sum_{i = 1}^r |a_i H| \\ &=r |H|. \end{align*}$$

MEP

  • #definition Sea $(G, *) \in \mathbf{Grp}$. La cantidad de clases laterales de $H < G$ se conoce como el índice de $H$ en $G$ y se denota por, $$[G : H].$$

Por definición,

$$ |G| = [G : H] |H|. $$
  • #proposition Sea $G$ un grupo finito y $a \in G$. Entonces, $a^{|G|} = e.$
  • #example En $D_6$.
    • Encuentre $C(t)$.
      • Recuerde que $$t r^j = r^{n - j} t$$

Entonces, $C(t) = \{e, t, r^3, r^3 t\}.$

  • Encuentre todas las clases laterales de $C(t)$.
    • $C(t) = \{e,t,r^3,r^3t\}.$
    • $r C(t) = \{r,rt,r^4,r^4t\}.$
    • $r^2 C(t) = \{r^2,r^2t,r^5,r^5t\}.$